已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（1）求曲線在（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：0＜x＜1時(shí)f（x）＜0．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)
專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，得到切線方程；
（2）令g（x）=lnx-x，求導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間，求出最大值，得到lnx-x+1≤0．從而得證．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1，
f′（x）=lnx+（x+1）•
1
x
-1=lnx+
1
x
，
f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲線在（1，f（1））處的切線方程為：y=x-1．
（2）證明：令g（x）=lnx-x，那么g′（x）=
1
x
-1，
g′（x）＞0，則0＜x＜1；g′（x）＜0，則x＞1．
可知當(dāng)0＜x＜1時(shí)單調(diào)增，當(dāng)x＞1時(shí)單調(diào)減．
故g（x）=lnx-x 在x=1 處取最大值為gmax=-1，
故lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0．
故當(dāng)0＜x＜1 時(shí)，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，求極值、最值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，點(diǎn)（1，
3
4
a）在橢圓C上．F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：x+y-m=0與橢圓C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，在直線l上求一點(diǎn)P，使△PF1F2的周長最�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O為底面中心，M、N是BD上的兩點(diǎn)，且BM=DM=3MN
（1）ON∥平面MAC； 
（2）若AM⊥BD，求BO與平面MAC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=2
7
，PB=PC=2
2
，求三棱錐的表面積和體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|2x-3|≤1的解集為[m，n]．
（1）求m+n的值；
（2）若|x-a|＜m，求證：|x|＜|a|+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
n+2
3
an（n∈N*），a1=
1
3
．
①求證：數(shù)列{
an
n(n+1)
}為常數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)Tn=
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
，若對(duì)任意的n∈N*，x∈（0，+∞），不等式Tn＜x-2lnx+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若曲線y=f（x）與y=g（x）都和直線y=kx+b相切，且滿足：f（x）≤kx+b≤g（x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，則稱直線y=kx+b為曲線y=f（x）與y=g（x）的“內(nèi)公切線”．已知f（x）=-
1
4
x2，g（x）=ex．
（1）試探究曲線y=f（x）與y=g（x）是否存在“內(nèi)公切線”？若存在，請(qǐng)求出內(nèi)公切線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（2）g′（x）是函數(shù)g（x）的導(dǎo)設(shè)函數(shù)，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函數(shù)y=g（x）圖象上任意兩點(diǎn)，x1＜x2，且存在實(shí)數(shù)x3，使得g′（x3）=
g(x2)-g(x1)
x2-x1
，證明：x1＜x3＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知z是復(fù)數(shù)，若z+2i為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且z（1-2i）為純虛數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（z+mi）2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知空間三點(diǎn)A（1，2，3），B（5，4，7），C（3，5，5），則
|AB|
|CB|
=
 
．

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