Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a，g（x）=x-a．
（Ⅰ）當(dāng)直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線時，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）在區(qū)間[e-

3

2

，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a∈Z且xf（x）+g（x）＞0對一切x＞1恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線，即可求a的值；
（Ⅱ）要使F（x）=f（x）•g（x）在區(qū)間[e-

3

2

，1]上不單調(diào)，只需滿足F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）由題意x（lnx+a）+x-a＞0對一切x＞1成立等價(jià)于a＞

xlnx+x

1-x

對一切x＞1成立．求出右邊的最小值，即可求a的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則
∵f（x）=lnx+a，
∴f′（x）=

1

x

，
∵直線y=g（x）恰好為曲線y=f（x）的切線，
∴

1

x0

=1，
∴x₀=1，
∴切點(diǎn)為（1，a），
代入g（x）=x-a，可得1-a=a，∴a=

1

2

；
（Ⅱ）F（x）=f（x）•g（x）=（lnx+a）（x-a），
∴F′（x）=1+a+lnx-

a

x

，
∵a＞0，∴在（0，+∞）上F′（x）單調(diào)遞增，
∵F′（1）=1+a+ln1-a＞0，
∴要使F（x）=f（x）•g（x）在區(qū)間[e-

3

2

，1]上不單調(diào)，
∴只需滿足F′（e-

3

2

）=1+a+lne-

3

2

-

a

e- 3 2

＜0，
解得a＞

e +1

2(e-1)

；
（Ⅲ）由題意x（lnx+a）+x-a＞0對一切x＞1成立等價(jià)于a＞

xlnx+x

1-x

對一切x＞1成立，
記h（x）=

xlnx+x

1-x

（x＞1），則h′（x）=

2+lnx-x

(1-x)2

，
記m（x）=2+lnx-x（x＞1），則m′（x）=

1

x

-1＜0，
∴m（x）=2+lnx-x在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵m（3）=2+ln3-3＞0，m（4）=ln4-2＜0，
∴?x₀∈（3，4），使得m（x₀）=0
且x∈（1，x₀），m（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞增；
x∈（x₀，+∞），m（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞減；
∴h（x）_min=h（x₀）=

x0lnx0+x0

1-x0

，
∵m（x₀）=0，∴2+lnx₀-x₀=0，∴l(xiāng)nx₀=x₀-2，
∴h（x₀）=

x0lnx0+x0

1-x0

=-x₀，
∴a＞-x₀，
∵x₀∈（3，4），
∴-x₀∈（-4，-3），
∵a∈Z，
∴a的最小值為-3．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．