Question

【題目】從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時(shí)間長達(dá)兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”．某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長比孔的邊長小），每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字．設(shè)，五個(gè)正方形的面積和為S．

（1）求面積S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求定義域；

（2）求面積S的最小值及此時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1），的取值范圍為，，；（2）時(shí)，面積S有最小值為．

【解析】

（1）構(gòu)造直角三角形，利用小圓直徑與三角函數(shù)分別求出大、小正方形的邊長，即可求得五個(gè)正方形的面積表達(dá)式，由小正方形邊長小于內(nèi)嵌一個(gè)大正方形的邊長可求得的取值范圍；（2）利用降冪公式及輔助角公式化簡面積表達(dá)式為正弦型函數(shù)，當(dāng)時(shí)S取最小值，此時(shí)求出的值然后求出，由二倍角的正弦公式可求得.

（1）過點(diǎn)O分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線，垂足分別為E，F，

因?yàn)閮?nèi)嵌一個(gè)大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，

所以點(diǎn)E，F分別為小正方形和大正方形邊的中點(diǎn)，

所以小正方形的邊長為，

大正方形的邊長為，

所以五個(gè)正方形的面積和為，

，

因?yàn)樾≌�方形邊長小于內(nèi)嵌一個(gè)大正方形的邊長，

所以，，，

所以的取值范圍為，，

所以面積S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，

的取值范圍為，，．

（2）法一：，

，

，

，其中，，

所以，此時(shí)，因?yàn)?/span>，所以

，所以，

所以，

則，化簡得：，

由此解得：，

因?yàn)?/span>，所以，

答：面積S最小值為，

法二：，

，

令，則，

設(shè)，，

令，得：，

t
	-	0	+
		極小值

所以時(shí)，面積S最小值為.