Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c為奇函數(shù)，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線9x+y-2=0平行，導函數(shù)f'（x）的最小值為-12．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c為奇函數(shù)，∴c=0且f'（x）=3ax²+b
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線9x+y-2=0平行，
∴f′（1）=-9，即3a+b=-9 …①
又∵導函數(shù)f'（x）的最小值為-12∴a＞0且b=-12 …②
由①②解出  a=1，b=-12，∴f（x）=x³-12x                 …（6分）
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
∴令f′（x）=0，得x=-2或x=2．列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴f（x）的極大值為f（-2）=16；
極小值為f（2）=-16…（12分）