4.已知函數(shù)y=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$(a>0)在(-∞,-a)和(a,+∞)內(nèi)均為增函數(shù),在(-a、0)和(0,a)內(nèi)均為減函數(shù).若函數(shù)f(x)=x+$\frac{t}{x}$(t>0)在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù),則實數(shù)t的取值范圍.

分析 先由函數(shù)$y=x+\frac{{a}^{2}}{x}$的單調(diào)性,便可得出f(x)的單調(diào)性,并得出f(x)的單調(diào)增區(qū)間:(-∞,$-\sqrt{t}$),($\sqrt{t},+∞$),從而根據(jù)f(x)在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)便可得出0<$\sqrt{t}≤1$,這樣即可得出實數(shù)t的取值范圍.

解答 解:根據(jù)題意,f(x)在(-∞,-$\sqrt{t}$),($\sqrt{t},+∞$)內(nèi)為增函數(shù);
要使f(x)在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù),則:$\sqrt{t}≤1$;
又t>0;
∴0<t≤1;
∴實數(shù)t的取值范圍為:(0,1].

點評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義,能夠根據(jù)y=$x+\frac{{a}^{2}}{x}$的單調(diào)性得出函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間,理解f(x)在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)的含義.

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