Question

（2007•閘北區(qū)一模）如圖：過點(diǎn)P（0，2）做直線交拋物線x²=2y于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：OA⊥OB．
（2）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）直線AB：y=kx+2與拋物線x²=2y聯(lián)立，求出OA，OB的斜率，利用韋達(dá)定理可得結(jié)論；
（2）根據(jù)S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP，表示出面積，得出S_△OAB=2

k2+4

，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）由題意，設(shè)直線AB：y=kx+2，與拋物線x²=2y聯(lián)立，可得x²-2kx-4=0
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），
則直線OA的斜率為k_OA=

y1

x1

，直線OB的斜率為k_OB=

y2

x2

，
因?yàn)閤₁，x₂是方程x²-2kx-4=0得兩個(gè)解，根據(jù)韋達(dá)定理得x₁+x₂=2k，x₁x₂=-4
∴k_OAk_OB=

y1y2

x1x2

=

(kx1+2)(kx2+2)

x1x2

=

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

x1x2

=

-4k2+2k•2k+4

-4

=-1
所以O(shè)A⊥OB；
（2）S_△OAB=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

|OP||x₁|+

1

2

|OP||x₂|=

1

2

|OP||x₂-x₁|=2

k2+4

，
∴當(dāng)k=0時(shí)，△OAB面積最小，最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．