Question

如圖，正方體AC′的棱長為a．
（1）寫出與AC平行的面對角線；
（2）寫出與AC異面的面對角線；
（3）求直線AC與B′D′所成的角；
（4）求直線BA′和CC′所成的角；
（5）求直線BA′與B′C所成的角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用正方體的結構特征和平行線的定義能求出在正方體AC′中，與AC平行的面對角線．
（2）利用正方體的結構特征和異面線的定義能求出在正方體AC′中，與AC異面的面對角線．
（3）由B′D′∥BD，BD⊥AC，得到直線AC與B′D′所成的角為90°．
（4）由CC′∥BB′，得∠A′BB′是直線BA′和CC′所成的角，由此能求出直線BA′和CC′所成的角．
（5）由B′C∥A′D，得∠BA′D是直線BA′與B′C所成的角，由此能求出直線BA′與B′C所成的角．

解答： 解：（1）在正方體AC′中，與AC平行的面對角線是A′C′．
（2）正方體AC′中，與AC異面的面對角線是BC，A′D，B′D′，DC，A′B．
（3）∵B′D′∥BD，BD⊥AC，
∴直線AC與B′D′所成的角為90°．
（4）∵CC′∥BB′，∴∠A′BB′是直線BA′和CC′所成的角，
∵∠A′BB′=45°，∴直線BA′和CC′所成的角為45°．
（5）∵B′C∥A′D，∴∠BA′D是直線BA′與B′C所成的角，
∵∠BA′D=60°，∴直線BA′與B′C所成的角為60°．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力，在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關鍵技巧．