Question

已知函數(shù)f（x）=x²-

1

x2

（x≠0），若實數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（2），則實數(shù)a的范圍是

 

．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算法則將不等式進行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：∵數(shù)f（x）=x²-

1

x2

（x≠0），
∴f（-x）=f（x），即函數(shù)為偶函數(shù)，
f'（x）=2x+

2

x3

，
則當x＞0時，f'（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
則f（log₂a）+f（log 

1

2

a）=f（log₂a）+f（-log₂a）=2f（log₂a），
∴不等式等價為2f（log₂a）≤2f（2），log₂a≠0，即a≠1．
即f（log₂a）≤f（2），
∴f（|log₂a|）≤f（2），
即|log₂a|≤2，
∴-2≤log₂a≤2，
解得

1

4

≤a≤4且a≠1．
故答案為：

1

4

≤a≤4且a≠1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及應用，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用．