Question

已知函數(shù)f(x)=alnx+

1

2

x2-x
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若h（x）=f（x）-ax，對定義域內(nèi)任意x，均有h（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍？
（3）證明：對任意的正整數(shù)m，n，

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞

n

m(m+n)

恒成立．

Answer 1

考點：不等式的證明,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得h′（x），再對a分類討論，得出單調(diào)性與極值最值即可；
（3）對于h（x）取a=-

1

2

，利用（2）可得化為

1

lnx

＞

1

x(x-1)

=

1

x-1

-

1

x

，再利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）定義域為（0，+∞）．
當(dāng)a=-1時，f（x）=-lnx+

1

2

x2-x.f′(x)=-

1

x

+x-1=

x2-x-1

x

=

(x- 1- 5 2 )(x- 1+ 5 2 )

x

，
當(dāng)x∈(0，

1+ 5

2

)時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(

1+ 5

2

，+∞)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
（2）h（x）=f（x）-ax=alnx+

1

2

x2-（a+1）x，∴h′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

(x-a)(x-1)

x

①當(dāng)a＜0時，x∈（0，1）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；．x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增．
函數(shù)h（x）在x=1時取得最小值，由h（1）=-a-

1

2

≥0，解得a≤-

1

2

．
②當(dāng)a≥0時，h（1）=-a-

1

2

＜0不可能成立．
綜上可知：a的取值范圍為(-∞，-

1

2

]．
（3）令a=-

1

2

.-

1

2

lnx+

1

2

x2-

1

2

x≥0，化為

1

lnx

＞

1

x(x-1)

=

1

x-1

-

1

x

，
令x=m+1，m+2，…，m+n．
則

1

ln(m+1)

+

1

ln(m+2)

+…+

1

ln(m+n)

＞(

1

m

-

1

m+1

)+(

1

m+1

-

1

m+2

)+…+(

1

m+n-1

-

1

m+n

)=

1

m

-

1

m+n

=

n

m(m+n)

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論、“裂項求和”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．