Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x2

，證明函數(shù)在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，并求這個(gè)函數(shù)在[-1，1]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可以利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證明．

解答： 證明：∵f（x）=

x

1+x2

，∴f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
∵x∈[0，1]，∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）=

x

1+x2

在[0，1]上是單調(diào)增函數(shù)．
同理可證，函數(shù)f（x）=

x

1+x2

在[-1，1]上也是單調(diào)增函數(shù)．
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）_min=-

1

2

；當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_max=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)單調(diào)性的證明方法--定義法、導(dǎo)數(shù)法以及利用函數(shù)單調(diào)性求定區(qū)間上的函數(shù)最值的方法．