Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.（t$為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（1，2），設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）利用參數(shù)的幾何意義，求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值．

解答 解：（1）圓C的方程為ρ=6sinθ，可化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=6y，即x²+（y-3）²=9；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.（t$為參數(shù)），代入x²+（y-3）²=9，可得t²+2（cosα-sinα）t-7=0，
∴t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-7，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{1}{7}\sqrt{4（cosα-sinα）^{2}+28}$=$\frac{1}{7}\sqrt{32-4sin2α}$≥$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的最小值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．