Question

已知函數(shù)f（x）=ax-x³，對區(qū)間（0，1]上的任意兩個值x₁、x₂，當(dāng)x₁＜x₂時總有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，則a的取值范圍是

1. A.
   [4，+∞）
2. B.
   （0，4）
3. C.
   （1，4）
4. D.
   （0，1）

Answer 1

A
分析：由于x₁＜x₂時總有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，故可將解析式代入，進(jìn)行整理化簡，分離出常數(shù)a來，得到a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在區(qū)間（0，1]上恒成立進(jìn)而判斷出右邊式子的最值，得出參數(shù)a的取值范圍．
解答：f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立
即ax₁-x₁³-ax₂+x₂³＞x₂-x₁成立
即a（x₂-x₁）-（x₂-x₁）（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞x₂-x₁成立
∵x₁＜x₂，即x₂-x₁＞0
∴a-（x₁²+x₂²+x₁x₂）＞1成立
∴a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在區(qū)間（0，1]上恒成立
當(dāng)x₁x2的值為1時，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值為4，由于x₁＜x₂≤1故，（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1的最大值取不到4
∴a≥4
故選 A
點評：本題考點是函數(shù)恒成立的問題，通過對f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，得到關(guān)于參數(shù)的不等式a＞（x₁²+x₂²+x₁x₂）+1在區(qū)間（0，1]上恒成立，此種方法是分離常數(shù)法在解題中的應(yīng)用，對此類恒成立求參數(shù)的問題，要注意此類技巧的使用．