【題目】設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定義域.
(2)求f(x)在區(qū)間[0, ]上的值域.
【答案】
(1)解:∵f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x),
∴f(1)=loga2+loga2=loga4=2,∴a=2;
又∵ ,∴x∈(﹣1,3),
∴f(x)的定義域?yàn)椋ī?,3)
(2)解:∵f(x)=log2(1+x)+log2(3﹣x)=log2[(1+x)(3﹣x)]=log2[﹣(x﹣1)2+4],
∴當(dāng)x∈(﹣1,1]時(shí),f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(1,3)時(shí),f(x)是減函數(shù),
∴f(x)在[0, ]上的最大值是f(1)=log24=2;
又∵f(0)=log23,f( )=log2 =﹣2+log215,
∴f(0)<f( );
∴f(x)在[0, ]上的最小值是f(0)=log23;
∴f(x)在區(qū)間[0, ]上的值域是[log23,2]
【解析】(1)由f(1)=2求得a的值,由對數(shù)的真數(shù)大于0求得f(x)的定義域;(2)判定f(x)在(﹣1,3)上的增減性,求出f(x)在[0, ]上的最值,即得值域.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則:①是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí),定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的.事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最。ù螅⿺(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲担虼饲蠛瘮(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(x∈R),(a,b為實(shí)數(shù)).
(1)若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),求f(x)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,若關(guān)于x方程|f(x+1)﹣1|=m|x﹣1|只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,求函數(shù)h(x)=2f(x+1)+x|x﹣m|+2m最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+a在區(qū)間(﹣∞,1)上有最小值,則函數(shù) 在區(qū)間(1,+∞)上一定( )
A.有最小值
B.有最大值
C.是減函數(shù)
D.是增函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在海岸線一側(cè)處有一個(gè)美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在上設(shè)立了兩個(gè)報(bào)名點(diǎn),滿足中任意兩點(diǎn)間的距離為.公司擬按以下思路運(yùn)作:先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)處(點(diǎn)異于兩點(diǎn)),然后乘同一艘輪游輪前往島.據(jù)統(tǒng)計(jì),每批游客處需發(fā)車2輛, 處需發(fā)車4輛,每輛汽車每千米耗費(fèi)元,游輪每千米耗費(fèi)元.(其中是正常數(shù))設(shè)∠,每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到島所需運(yùn)輸成本為元.
(1) 寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并指出的取值范圍;
(2) 問:中轉(zhuǎn)點(diǎn)距離處多遠(yuǎn)時(shí), 最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形, , 和均為等邊三角形,且平面平面,點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)若的面積為,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的程序框圖運(yùn)行程序后,輸出的結(jié)果是31,則判斷框中的整數(shù)H=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為2,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A、B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的普通方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;
(2)求曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo),其中, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解心肺疾病是否與性別有關(guān),在市第一人民醫(yī)院隨機(jī)對入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計(jì) | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;
(2)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3位進(jìn)行其他方面的排查,其中患胃病的人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望.
參考公式: ,其中.
下面的臨界值僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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