Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=2時，設函數(shù)h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)即可得出其單調區(qū)間；
（2）通過對p分類討論，令F（x）=h（x）-f（x），“在區(qū)間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立”?F（x）_max＞0即可．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x-3，（x＞0），
∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，令f^′（x）=0，則x=1．
列表如下：
由表可知：f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減．
（2）當a=2時，f（x）=2lnx-2x-3．
令F（x）=h（x）-f（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3-（2lnx-2x-3）=px-

p

x

-2lnx-

2e

x

．
①當p≤0時，px-

p

x

=p

x2-1

x

≤0，

-2e

x

-2lnx＜0，
∴在[1，e]上不存在x₀滿足F（x）＞0，即h（x₀）＞f（x₀）不成立．
②當p＞0時，F(xiàn)^′（x）=

px2+p+2e-2x

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2p≥0，∴F^′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調遞增．
∴F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．
所以P的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：熟練掌握導數(shù)與函數(shù)單調性的關系及對問題正確等價轉化是解題的關鍵．