Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

b

x

（其中a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過（1，2），（2，

5

2

）兩點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義法證明函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）f（x）的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，可求得a、b的值；
（2）用定義法證明函數(shù)的增減性時，基本步驟是：一取值，二作差，三判正負(fù)．四下結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=ax+

b

x

的圖象經(jīng)過（1，2），（2，

5

2

）兩點(diǎn)；
∴有

a+b=2 2a+ b 2 = 5 2

，解得

a=1 b=1

；
∴f（x）的解析式為f（x）=x+

1

x

，（其中x≠0）；
（2）任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

；
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞1，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題．