已知k∈R,函數(shù)f(x)=mx+knx(0<m≠1,n≠1).
(1)如果實(shí)數(shù)m,n滿足m>1,mn=1,函數(shù)f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相應(yīng)的k值,如果沒有,說(shuō)明為什么?
(2)如果m>1>n>0判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)如果m=2,n=,且k≠0,求函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心.
【答案】分析:(1)如果f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)即m-x+kn-x=mx+knx恒成立,轉(zhuǎn)化成(nx-mx)(k-1)=0,根據(jù)nx-mx=0不恒成立,可求出k的值,如果f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立,可轉(zhuǎn)化成(nx+mx)(k+1)=0,根據(jù)nx+mx=0不恒成立,可求出k的值;
(2)根據(jù)m>1>n>0,則,當(dāng)k≤0時(shí),顯然f(x)=mx+knx在R上為增函數(shù),當(dāng)k>0時(shí),求出導(dǎo)函數(shù)f'(x),令f'(x)=0求出極值點(diǎn),從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)m=2,n=時(shí),f(x)=2x+k2-x,如果k<0,根據(jù)f(log2(-k)-x)=-f(x)得到函數(shù)y=f(x)有對(duì)稱中心(log2(-k),0),如果k>0,根據(jù)f(log2k-x)=f(x)得到函數(shù)y=f(x)有對(duì)稱軸x=log2k.
解答:(本題滿分16分)
解:(1)如果f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)即m-x+kn-x=mx+knx恒成立,(1分)
即:nx+kmx=mx+knx,(nx-mx)+k(mx-nx)=0,則 (nx-mx)(k-1)=0(2分)
由nx-mx=0不恒成立,得k=1(3分)
如果f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立,(4分)
即:nx+kmx=-mx-knx,(nx+mx)+k(mx+nx)=0,則 (nx+mx)(k+1)=0(5分)
由nx+mx=0不恒成立,得k=-1(6分)
(2)m>1>n>0,則,
∴當(dāng)k≤0時(shí),顯然f(x)=mx+knx在R上為增函數(shù);(8分)
當(dāng)k>0時(shí),f'(x)=mxlnm+knxlnn=[lnm+klnn]nx=0,
由nx>0得lnm+klnn=0得=-k=-klogmn得x=.(9分)
∴當(dāng)x∈(-∞,]時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù); (10分)
當(dāng)x∈[,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).(11分)
(3)當(dāng)m=2,n=時(shí),f(x)=2x+k2-x
如果k<0,f(x)=2x+k2-x=2x-(-k)2-x=2x-,(13分)
則f(log2(-k)-x)=-f(x)∴函數(shù)y=f(x)有對(duì)稱中心(log2(-k),0)(14分)
如果k>0,f(x)=2x+k2-x=2x+,(15分)
則f(log2k-x)=f(x)
∴函數(shù)y=f(x)有對(duì)稱軸x=log2k.(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖形的對(duì)稱性,同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知k∈R,函數(shù)f(x)=ax+k•bx(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1)
(1)已知函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)
在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.若a=2,b=
1
2
,k=1
,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)若實(shí)數(shù)a,b滿足ab=1.求k的值,使得函數(shù)f(x)具有奇偶性.(寫出完整解題過(guò)程)

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(Ⅰ) 如果實(shí)數(shù)m,n滿足m>1,mn=1,函數(shù)f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相應(yīng)的k值;如果沒有,說(shuō)明為什么?
(Ⅱ) 如果m>1>n>0,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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(Ⅱ)如果a=4,b=
12
,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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(1)如果實(shí)數(shù)m,n滿足m>1,mn=1,函數(shù)f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相應(yīng)的k值,如果沒有,說(shuō)明為什么?
(2)如果m>1>n>0判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)如果m=2,n=
12
,且k≠0,求函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心.

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已知k∈R,函數(shù)f(x)=ax+k•bx(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1)
(1)已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.若數(shù)學(xué)公式,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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