Question

已知k∈R，函數(shù)f（x）=a^x+k•b^x（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函數(shù)y=x+

1

x

(x＞0)在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增．若a=2，b=

1

2

，k=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若實(shí)數(shù)a，b滿足ab=1．求k的值，使得函數(shù)f（x）具有奇偶性．（寫出完整解題過程）

Answer 1

分析：（1）將a，b的值代入，得到f(x)=2x+

1

2x

，換元，令t=2^x，根據(jù)y=t+

1

t

(t＞0)的單調(diào)區(qū)間判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)奇函數(shù)偶函數(shù)的概念，代入f（x），化簡整理，求得k的值．

解答：解：（1）當(dāng)a=2，b=

1

2

，k=1時(shí)，函數(shù)f(x)=2x+

1

2x

…（1分）
令t=2^x（t＞0），則原函數(shù)變?yōu)?span id="qiu12ij" class="MathJye">y=t+

1

t

(t＞0)
由條件知，當(dāng)t∈（0，1]時(shí)，y單調(diào)遞減．此時(shí)x∈（-∞，0]，且t=2^x在（-∞，0]上單調(diào)遞增．
所以有函數(shù)f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上單調(diào)遞減．…（3分）
當(dāng)t∈[1，+∞）時(shí)，y單調(diào)遞增．此時(shí)x∈[0，+∞），且t=2^x在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以有函數(shù)f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上單調(diào)遞增．…（3分）
綜上，f(x)=2x+

1

2x

在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在（-∞，0]上單調(diào)遞增． …（1分）
（2）由題意，ab=1，所以有

1

a

=b，

1

b

=a
①若f（x）為奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），即a^-x+kb^-x=-（a^x+kb^x），
即(

1

a

)x+k(

1

b

)x=-(ax+kbx)，得b^x+ka^x=-（a^x+kb^x），
整理得（1+k）（b^x+a^x）=0，所以有1+k=0，得k=-1…（3分）
②若f（x）為偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x），即a^-x+kb^-x=a^x+kb^x，
即(

1

a

)x+k(

1

b

)x=ax+kbx，得b^x+ka^x=a^x+kb^x，所以得k=1…（3分）
綜上有，k=-1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)，k=1時(shí)，f（x）為偶函數(shù)．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，中間用到了換元法，是中檔題．