Question

已知k∈R，函數(shù)f（x）=m^x+kn^x（0＜m≠1，n≠1）．
（1）如果實(shí)數(shù)m，n滿足m＞1，mn=1，函數(shù)f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相應(yīng)的k值，如果沒有，說明為什么？
（2）如果m＞1＞n＞0判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）如果m=2，n=

1

2

，且k≠0，求函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心．

Answer 1

分析：（1）如果f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，轉(zhuǎn)化成（n^x-m^x）（k-1）=0，根據(jù)n^x-m^x=0不恒成立，可求出k的值，如果f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，可轉(zhuǎn)化成（n^x+m^x）（k+1）=0，根據(jù)n^x+m^x=0不恒成立，可求出k的值；
（2）根據(jù)m＞1＞n＞0，則

m

n

＞1，當(dāng)k≤0時(shí)，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數(shù)，當(dāng)k＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），令f'（x）=0求出極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)m=2，n=

1

2

時(shí)，f（x）=2^x+k2^-x，如果k＜0，根據(jù)f（log₂（-k）-x）=-f（x）得到函數(shù)y=f（x）有對(duì)稱中心（

1

2

log₂（-k），0），如果k＞0，根據(jù)f（log₂k-x）=f（x）得到函數(shù)y=f（x）有對(duì)稱軸x=

1

2

log₂k．

解答：（本題滿分16分）
解：（1）如果f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，（1分）
即：n^x+km^x=m^x+kn^x，（n^x-m^x）+k（m^x-n^x）=0，則 （n^x-m^x）（k-1）=0（2分）
由n^x-m^x=0不恒成立，得k=1（3分）
如果f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，（4分）
即：n^x+km^x=-m^x-kn^x，（n^x+m^x）+k（m^x+n^x）=0，則 （n^x+m^x）（k+1）=0（5分）
由n^x+m^x=0不恒成立，得k=-1（6分）
（2）m＞1＞n＞0，則

m

n

＞1，
∴當(dāng)k≤0時(shí)，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數(shù)；（8分）
當(dāng)k＞0時(shí)，f'（x）=m^xlnm+kn^xlnn=[(

m

n

)xlnm+klnn]n^x=0，
由n^x＞0得(

m

n

)xlnm+klnn=0得(

m

n

)x=-k

lnn

lnm

=-klog_mn得x=log

m

n

(-klogmn)．（9分）
∴當(dāng)x∈（-∞，log

m

n

(-klogmn)]時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)； （10分）
當(dāng)x∈[log

m

n

(-klogmn)，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．（11分）
（3）當(dāng)m=2，n=

1

2

時(shí)，f（x）=2^x+k2^-x
如果k＜0，f（x）=2^x+k2^-x=2^x-（-k）2^-x=2^x-2log2(-k)-x，（13分）
則f（log₂（-k）-x）=-f（x）∴函數(shù)y=f（x）有對(duì)稱中心（

1

2

log₂（-k），0）（14分）
如果k＞0，f（x）=2^x+k2^-x=2^x+2log2k-x，（15分）
則f（log₂k-x）=f（x）
∴函數(shù)y=f（x）有對(duì)稱軸x=

1

2

log₂k．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖形的對(duì)稱性，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．