【題目】已知曲線,直線(其中)與曲線相交于、兩點.
(Ⅰ)若,試判斷曲線的形狀.
(Ⅱ)若,以線段、為鄰邊作平行四邊形,其中頂點在曲線上, 為坐標原點,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)結(jié)合所給的方程討論可得:
當時,曲線的形狀為直線,
當時,曲線表示以焦點在軸上,以為實軸,以為焦距的雙曲線,
當時,表示焦點在軸上,以為長軸,以為焦距的橢圓,
當時,表示焦點在軸上,以為長軸,以為焦距的橢圓,
當時,表示圓心在原點,以為半徑的圓.
(Ⅱ)當時,曲線方程為: ,分類討論:
當時, ,
當時,聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去整理變形,結(jié)合題意可得,結(jié)合,可得的取值范圍是.
試題解析:
(Ⅰ)當時, , ,曲線的形狀為直線,
當時, ,表示以焦點在軸上,以為實軸,
以為焦距的雙曲線,
當時, ,
當,即時,表示焦點在軸上,以為長軸,以為焦距的橢圓,
當,即時,表示焦點在軸上,以為長軸,以為焦距的橢圓,
當,即時,表示圓心在原點,以為半徑的圓.
(Ⅱ)當時,曲線方程為: ,
當時, 在橢圓上,計算得出,
∴,
當時,則,消去化簡整理得:
,
①,
設(shè), , 的坐標分別為, , ,
則, ,
因為點在橢圓上,所以,
從而,化簡得: ,
經(jīng)檢驗滿足①式,
又,
∵,∴,
∴,
∴,
綜上, 的取值范圍是.
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【題目】如圖所示,在四棱錐中, 平面是的中點, 是上的點且為邊上的高.
(1)證明: 平面;
(2)若,求三棱錐的體積;
(3)在線段上是否存在這樣一點,使得平面?若存在,說出點的位置.
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【題目】為了得到函數(shù)y=3sin(2x+ )的圖象,只要把函數(shù)y=3sinx的圖象上所有的點( )
A.橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變),再把所得圖象所有的點向左平移 個單位長度
B.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再把所得圖象所有的點向左平移 個單位長度
C.向右平移 個單位長度,再把所得圖象所有的點橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變)
D.向左平移 個單位長度,再把所得圖象所有的點橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)
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【題目】已知定點,定直線: ,動圓過點,且與直線相切.
(Ⅰ)求動圓的圓心軌跡的方程;
(Ⅱ)過點的直線與曲線相交于, 兩點,分別過點, 作曲線的切線, ,兩條切線相交于點,求外接圓面積的最小值.
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【題目】已知橢圓(是大于的常數(shù))的左、右頂點分別為、,點是橢圓上位于軸上方的動點,直線、與直線分別交于、兩點(設(shè)直線的斜率為正數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)直線、的斜率分別為, ,求證為定值.
(Ⅱ)求線段的長度的最小值.
(Ⅲ)判斷“”是“存在點,使得是等邊三角形”的什么條件?(直接寫出結(jié)果)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點為,離心率為,設(shè)直線的斜率是,且與橢圓交于, 兩點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程.
(Ⅱ)若直線在軸上的截距是,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)以為底作等腰三角形,頂點為,求的面積.
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【題目】關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+ )(x∈R),有下列命題:
①y=f(x)的表達式可改寫為y=4cos(2x﹣ );
②y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù);
③y=f(x)的圖象關(guān)于點 對稱;
④y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=﹣ 對稱.
其中正確的命題的序號是 .
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