Question

函數(shù)y=log_ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[2，+∞）上恒有|y|＞1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

1

2

，1)∪(1，2)

．

Answer 1

分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，根據(jù)x≥2時(shí)，log_ax＞1 恒成立，分a＞1 和1＞a＞0兩種情況，分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：由題意可得，當(dāng)x≥2時(shí)，|log_ax|＞1 恒成立．
若a＞1，函數(shù)y=log_ax 是增函數(shù)，不等式|log_ax|＞1 即 log_ax＞1，∴l(xiāng)og_a2＞1=log_aa，解得 1＜a＜2．
若 1＞a＞0，函數(shù)y=log_ax 是減函數(shù)，函數(shù)y=log

1

a

x 是增函數(shù)，不等式|log_ax|＞1 即 log

1

a

x＞1．
∴有log

1

a

2＞1=log

1

a

1

a

，解得 1＜

1

a

＜2，解得

1

2

＜a＜1．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (

1

2

，1)∪(1，2)，
故答案為 (

1

2

，1)∪(1，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．