Question

設(shè)指數(shù)函數(shù)y=a^x與對數(shù)函數(shù)y=log_ax（a＞0，a≠1）的圖象分別為C₁，C₂，點M在曲線C₁上，線段OM（O為坐標(biāo)原點）交曲線C₁于另一點N．若曲線C₂上存在一點P，使點P的橫坐標(biāo)與點M的縱坐標(biāo)相等，點P的縱坐標(biāo)是點N的橫坐標(biāo)的2倍，則點P的坐標(biāo)是（　　）

A．（4，4）

B．（a⁴，4）

C．（4，log_a4）

D．（log_a4，2）

Answer 1

分析：設(shè)P（m，log_am），可設(shè)M（α，m），N（

1

2

log_am，β），根據(jù)曲線C₁、C₂的表達(dá)式，解出α=log_am，β=

m

，得出M、N坐標(biāo)關(guān)于a、m的表達(dá)形式，最后根據(jù)M、N、O三點共線，利用斜率相等建立關(guān)系式可得出m=4，從而得出點P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)P（m，log_am），則可設(shè)M（α，m），N（

1

2

log_am，β）
∵M（α，m），N（

1

2

log_am，β）在指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象上
∴m=a^α且β=a

1

2

logam，解之得α=log_am，β=

m

由此可得M（log_am，m），N（

1

2

log_am，

m

）
∵M、N、O三點共線
∴k_OM=K_ON，即

m

logam

=

m

1 2 logam

，解之得m=4（舍去0）
因此點P的坐標(biāo)為（4，log_am）
故選：C

點評：本題給出指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象上點坐標(biāo)之間的關(guān)系，求其中一個點的坐標(biāo)，著重考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識，屬于中檔題．