Question

設(shè)函數(shù),已知和為的極值點(diǎn).
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)設(shè),比較與的大小.

Answer 1

（1）,.
（2）在和上是單調(diào)遞增的;在和上是單調(diào)遞減的.
（3）(1)且時(shí)
(2) 或時(shí),

(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133341869799.gif" style="vertical-align:middle;" />,
又和為的極值點(diǎn),所以,
因此解該方程組得,.
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133341588286.gif" style="vertical-align:middle;" />,,所以,
令,解得,,．
因?yàn)楫?dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),．
所以在和上是單調(diào)遞增的;在和上是單調(diào)遞減的.
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,
故,令，則.
令,得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133342664445.gif" style="vertical-align:middle;" />時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減.故時(shí)，;
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133342867454.gif" style="vertical-align:middle;" />時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
故時(shí),.
所以對(duì)任意,恒有,又時(shí),,
因此且時(shí),
或時(shí),
所以,   (1)且時(shí)
(2) 或時(shí),
【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命題人給的原解)這種解法不太嚴(yán)謹(jǐn),但也被大部分人所接受
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,
故,令,則.
令,得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133343288436.gif" style="vertical-align:middle;" />時(shí),,
所以在上單調(diào)遞減.故時(shí),;
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133343366447.gif" style="vertical-align:middle;" />時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.
故時(shí),.
所以對(duì)任意,恒有,又,因此,
故對(duì)任意,恒有