【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|.
(1)解不等式:f(x+1)+f(x+2)<4;
(2)已知a>2,求證:x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立.
【答案】
(1)解:f(x+1)+f(x+2)<4,
即|x﹣1|+|x|<4,
①當(dāng)x≤0時(shí),不等式為1﹣x﹣x<4,即 ,
∴ 是不等式的解;
②當(dāng)0<x≤1時(shí),不等式為1﹣x+x<4,即1<4恒成立,
∴0<x≤1是不等式的解;
③當(dāng)x>1時(shí),不等式為x﹣1+x<4,即 ,
∴ 是不等式的解.
綜上所述,不等式的解集為
(2)解:證明:∵a>2,
∴f(ax)+af(x)=|ax﹣2|+a|x﹣2|=|ax﹣2|+|ax﹣2a|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|>2,
∴x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立
【解析】(1)f(x+1)+f(x+2)<4,即|x﹣1|+|x|<4,利用零點(diǎn)分段法求出各段上的解,綜合可得答案;(2)由a>2,結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì),可得x∈R,f(ax)+af(x)>2恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)的最小值為.
(1)求;
(2)是否存在實(shí)數(shù)同時(shí)滿足下列條件:
①;
②當(dāng)的定義域?yàn)?/span>時(shí), 值域?yàn)?/span>?若存在, 求出的值;若不存在, 說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P是拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上的射影是Q,點(diǎn)A(8,7),則|PA|+|PQ|的最小值為( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為 0.5 萬元,但每生產(chǎn)100臺(tái)時(shí),又需可變成本(即另增加投入)0.25 萬元.市場(chǎng)對(duì)此商品的年需求量為 500臺(tái),銷售的收入(單位:萬元)函數(shù)為 R(x)=5x-x2(0≤x≤5),其中 x 是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量(單位:百臺(tái)).
(1)求利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù).
(2)年產(chǎn)量是多少時(shí),企業(yè)所得的利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(Ⅱ)若在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,則△ABC最大內(nèi)角α的取值范圍為( )
A. <α≤
B. <α<π
C. ≤α<π
D. <α≤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查每天微信用戶使用微信的時(shí)間,某經(jīng)銷化妝品分微商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪男性、女性用戶各50名,其中每天玩微信超過6小時(shí)的用戶列為“微信控”,否則稱其為“非微信控”,調(diào)查結(jié)果如下:
微信控 | 非微信控 | 合計(jì) | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合計(jì) | 56 | 44 | 100 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人贈(zèng)送營養(yǎng)面膜各1份,再從抽取的這5人中再隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送200元的護(hù)膚品套裝,記這3人中“微信控”的人數(shù)為X,試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.321 | 3.840 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中, , 為的中點(diǎn), 平面,垂足落在線段上,已知.
(1)證明: ;
(2)在線段上是否存在一點(diǎn),使得二面角為直二面角?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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