Question

（2013•浙江模擬）已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n（n∈N^*），求{b_n}的通項(xiàng)公式b_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，直接利用a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)列式求出公比，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）當(dāng)n=1時(shí)由遞推式求出b₁，模仿遞推式寫(xiě)出n=n-1時(shí)的遞推式，作差后代入a_n即可求出b_n．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中項(xiàng)得：
2a₂=a₁+a₃-1，∴2a1q=a1+a1q2-1，
∴2q=q²，∵q≠0，∴q=2，
∴an=2n-1；
（2）n=1時(shí)，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，得b₁=a₁=1．
n≥2時(shí)，由b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n ①
b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=a_n-1②
①-②得：nbn=an-an-1=2n-1-2n-2=2n-2．
bn=

2n-2

n

，
∴bn=

1，n=1 2n-2 n ，n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的遞推式，解答的關(guān)鍵是想到錯(cuò)位相減，是基礎(chǔ)題．