Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線l垂直于直線y=x，求實(shí)數(shù)a的值及直線l的方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x＞1，求證：lnx＜x﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R），定義域?yàn)椋?，+∞），

∴ ，

∴函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線l的斜率k=f′（1）=1﹣a，

∵切線l垂直于直線y=x，

∴1﹣a=﹣1，∴a=2，

∴f（x）=lnx﹣2x+1，f（1）=﹣1，

∴切點(diǎn)為（1，﹣1），

∴切線l的方程為y+1=﹣（x﹣1），

即x+y=0

（2）解：由（1）知： ，x＞0

當(dāng)a≤0時(shí)， ，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)a＞0時(shí)，

若 ，則f′（x）＞0；若 ，則f′（x）＜0，

此時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ，

綜上所述：

當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是

（3）解：由（2）知：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）=ln1﹣1+1=0，

∴x＞1時(shí)，lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率求出a的值，從而求出函數(shù)的切點(diǎn)，求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）由a=1時(shí)，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上單調(diào)遞減，得到f（x）＜f（1），從而證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．