已知直線a不垂直于平面α(如圖所示)，求證：過a有且只有一個平面與α垂直．
答案：略
解析：

證明：(1)設A∈a，過A作b⊥α．a∩b=Aa、b確定一個平面，記作β．

．

(2)假設過a不只一個平面垂直于α，可設β以外還有平面γ⊥α．

．

這與a不垂直于α矛盾．從而假設不成立，所以只有一個平面垂直于α．

于是，由(1)、(2)可知原命題成立．


提示：

這是一個唯一性命題，其證明可分兩步進行：先證存在性，即過a有一個平面與α垂直；再證唯一性，用直接證明“只有一個”不好下手，我們用反證法，假設還有一個平面垂直于α，去尋找矛盾．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2010年浙江省杭州市七校高二上學期期中考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本小題12分）

已知點P(2，0)及圓C：.

（1）若直線過點P且與圓心C的距離為1，求直線的方程.

（2）設直線與圓C交于A、B兩點，是否存在實數(shù)，使得過點P(2，0)的直線垂直平

     分弦AB. 若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題12分）

已知點P(2，0)及圓C：.

（1）若直線過點P且與圓心C的距離為1，求直線的方程.

（2）設直線與圓C交于A、B兩點，是否存在實數(shù)，使得過點P(2，0)的直線垂直平

     分弦AB. 若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由.

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