Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是（2）2

【解析】

（1）利用的導(dǎo)函數(shù)求得的單調(diào)增區(qū)間.

（2）解法一：將不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最小值.

解法二：將不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)分成、兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>，

由于時(shí)，由得，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是；

（2）解法一：因?yàn)?/span>，即，因?yàn)?/span>，

所以，令，

所以，

設(shè)，

則，

所以且時(shí)，，

故在上是增函數(shù)，

因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，

.

所以存在使，

所以當(dāng)時(shí)，即，

當(dāng)時(shí)，即，

所以在上增函數(shù)，上是減函數(shù)，

故有最大值為

，

因?yàn)?/span>，，所以，

故，即整數(shù)的最小值為2.

解法二：因?yàn)?/span>，即，因?yàn)?/span>，

所以，令，

（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，

因此，所以只需；

（ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，則，

所以，

因此只需，即，

構(gòu)造函數(shù)，

，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；

當(dāng)時(shí)，，

則，不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，，

則，故不滿足題意；

綜上可知，整數(shù)的最小值為2.