Question

已知點(diǎn)P（x，y）在直線x+2y=3上移動(dòng)，當(dāng)2^x+4^y取最小值時(shí)，過(guò)P點(diǎn)（x，y）引圓C：(x-

1

2

)2+(y+

5

4

)2=1的切線，則此切線長(zhǎng)等于（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由條件利用基本不等式可得當(dāng)2^x+4^y取最小值時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

4

），再根據(jù)CP=

( 3 2 - 1 2 )2+( 3 4 + 5 4 )2

=

5

，大于圓的半徑1，由此求得圓的切線長(zhǎng)為

CP2-R2

的值．

解答：解：∵x+2y=3，2^x+4^y =2^x+2^2y≥2

2x+2y

=4

2

，當(dāng)且僅當(dāng) x=2y=

3

2

時(shí)，等號(hào)成立，
∴當(dāng)2^x+4^y取最小值4

2

時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

4

），
點(diǎn)P到圓心C的距離為CP=

( 3 2 - 1 2 )2+( 3 4 + 5 4 )2

=

5

，大于圓的半徑1，
故切線長(zhǎng)為

CP2-R2

=

5-1

=2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．