Question

下列命題：
①函數(shù)y=tan

x

2

的圖象的對稱中心是（kπ，0），k∈Z；
②函數(shù)y=lg（1+2cos2x）的遞減區(qū)間是[kπ，kπ+

π

4

）k∈Z；
③函數(shù)f（x）=|1+sin2x-cos2x|的最小正周期是π
④要得到函數(shù)y=sin（

x

2

-

π

4

）的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位．
其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①中，由正切函數(shù)的對稱中心，求出函數(shù)y=tan

x

2

圖象的對稱中心，判定①正確；
②中，求出函數(shù)y=lg（1+2cos2x）的遞減區(qū)間，判定②錯誤；
③中，求出函數(shù)f（x）=|1+sin2x-cos2x|的最小正周期，判定③正確；
④中，由函數(shù)圖象的平移知識，判定④錯誤．

解答： 解：對于①，∵正切函數(shù)的對稱中心是（k•

π

2

，0）k∈Z，令

x

2

=k•

π

2

（k∈Z），∴x=kπ（k∈Z），
∴函數(shù)y=tan

x

2

的圖象的對稱中心是（kπ，0），k∈Z，∴①正確；
對于②，∵1+2cos2x＞0，∴cos2x＞-

1

2

，∴-

π

3

+kπ＜x＜

π

3

+kπ（k∈Z）；
∴函數(shù)y=lg（1+2cos2x）的遞減區(qū)間是[kπ，kπ+

π

3

）k∈Z，∴②錯誤；
對于③，函數(shù)f（x）=|1+sin2x-cos2x|=|1+

2

sin（2x-

π

4

）|，
∴f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π，∴③正確；
對于④，將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位，
得y=sin[

1

2

（x-

π

4

）]=sin（

x

2

-

π

8

）的圖象，∴④錯誤．
綜上，正確的命題是③．
故答案為：①③．

點評：本題利用命題真假的判定，考查了正切函數(shù)的對稱中心，余弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期性以及函數(shù)的平移知識，是綜合性題目．