Question

（2007•煙臺三模）已知R上的函數(shù)f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx（a＜b＜c），在x=1時取得極值，且y=f（x）的圖象上有一點處的切線斜率為-a．
（1）證明：0≤

b

a

＜1；
（2）若f（x）在區(qū)間（s，t）上為增函數(shù)，證明：1≥t＞s＞-2且t-s＜3；
（3）對任意滿足以上條件的a，b，c，若不等式f′（x）+a＜0對任意x≥k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在x=1時取得極值，a＜b＜c，結(jié)合關(guān)于x的方程f′（x）=-a有根，即可得出結(jié)論；
（2）程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0的兩根為1和-

b

a

-1，當(dāng)且僅當(dāng)-

b

a

-1＜x＜1時，f′（x）＞0，可得f（x）在[-

b

a

-1，1]上為增函數(shù)，即可得出結(jié)論；
（3）若f′（x）+a=ax²+bx-b=a（x2+

b

a

x-

b

a

）＜0對a、b恒成立，換元，變換主元，即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax²+bx+c，
∵函數(shù)在x=1時取得極值，
∴a+b+c=0，
∵函數(shù)在x=1時取得極值，
∵a＜b＜c，
∴a＜b＜-（a+b），
∴-

1

2

＜

b

a

＜1
∵切線斜率為-a，則關(guān)于x的方程f′（x）=-a有根，
即ax²+bx-b=0有根，
∴b²+4ab=b（4a+b）≥0
∴

b

a

≤-4或

b

a

≥0
∵-

1

2

＜

b

a

＜1
∴0≤

b

a

＜1；
（2）證明：方程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0
∴b²+4a（a+b）＞0
∵f′（1）=0
∴方程f′（x）=ax²+bx-（a+b）=0的兩根為1和-

b

a

-1
當(dāng)且僅當(dāng)-

b

a

-1＜x＜1時，f′（x）＞0
∴f（x）在[-

b

a

-1，1]上為增函數(shù)，
∴1≥t＞s≥-

b

a

-1＞-2且0＜t-s≤

b

a

+2＜3；
（3）解：若f′（x）+a=ax²+bx-b=a（x2+

b

a

x-

b

a

）＜0對a、b恒成立，
設(shè)t=

b

a

∈[0，1），則g（t）=（x-1）t+x²＞0對t∈[0，1）恒成立，
即g（1）≥0，g（0）＞0恒成立 
解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

，
∴k≥

-1+ 5

2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．