(2007•煙臺三模)一個多面體的直觀圖(正視圖、側(cè)視圖,俯視圖)如圖所示,M,N分別為A1B,B1C1的中點.
(1)求證:MN∥平面ACC1A1;
(2)求證:MN⊥平面A1BC;
(3)求二面角A-A1B-C的大小.
分析:(1)先根據(jù)題中的三視圖得到AC⊥BC,AC=BC=CC1,然后連接AC1和AB1,再由直三棱柱的性質(zhì)得到四邊形ABB1A1為矩形,再由中位線定理可得到MN∥AC1,最后根據(jù)線面平行的判定定理可證明MN∥平面ACC1A1
(2)先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得到BC⊥AC1,再根據(jù)A1C⊥AC1,根據(jù)線面垂直的判定定理得到AC1⊥平面A1BC,最后根據(jù)MN∥AC1,得MN⊥平面A1BC,從而得證.
(3)先過點C作CD⊥AB與D.再過點D作DE⊥A1B,可得∠CED即為所求二面角的平面角,然后通過求邊長求出角的度數(shù)即可.
解答:解:由題意可知,這個幾何體是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1;
(1)連接AC1,AB1,由直三棱柱的性質(zhì)得AA1⊥平面A1B1C1;
所以AA1⊥A1B1,則四邊形ABB1A1為矩形,
由矩形的性質(zhì)得AB1過A1B的中點M.
在△AB1C1中,由中位線性質(zhì)得MN∥AC1
又AC1?ACC1A1,MN?ACC1A1
所以MN∥平面ACC1A1
(2)因為BC⊥平面ACC1A1,AC?平面ACC1A1,
所以BC⊥AC1
在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1,
又BC∩A1C=C,
所以AC1⊥平面A1BC,
由MN∥AC1,得MN⊥平面A1BC.
(3)過點C作CD⊥AB與D.再過點D作DE⊥A1B,
連接CE,
∵AC=BC;
∴CD⊥AB由其為直棱柱⇒CD⊥平面ABB1A1;
則∠CED即為所求二面角的平面角.
又CD=
1
2
AB=
2
2
a,tan∠ABA1=
DE
DB
=
AA 1
A1B
DE
2
2
a
=
a
3
a
⇒DE=
6
6
a,
∴tan∠CED=
CD
DE
=
3
,即∠CED=60°,
故二面角A-A1B-為60°.
點評:本題主要考查中位線定理、線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理.考查對立體幾何基本定理的綜合應(yīng)用和空間想象能力.
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