Question

11．蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看做是一各正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f（n）表示第n個圖的蜂巢總數(shù)．
（1）試給出f（4），f（5）的值；
（2）猜想出f（n）的表達(dá)式（不需要證明）；
（3）證明：$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象的規(guī)律可得f（4）和f（5）的值．
（2）根據(jù)相鄰兩項的差的規(guī)律可分析得出f（n）-f（n-1）=6（n-1），進而根據(jù)合并求和的方法求得f（n）的表達(dá)式
（3）根據(jù)（2）中求得的f（n）可得$\frac{1}{f（n）-1}$的表達(dá)式，進而利用裂項的方法證明原式．

解答 解：（1）f（4）=37，f（5）=61．
（2）由于f（2）-f（1）=7-1=6，
f（3）-f（2）=19-7=2×6，
f（4）-f（3）=37-19=3×6，
f（5）-f（4）=61-37=4×6，
因此，當(dāng)n≥2時，有f（n）-f（n-1）=6（n-1），
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n²-3n+1．
又f（1）=1=3×1²-3×1+1，
所以f（n）=3n²-3n+1；
（3）由（2）知f（n）-1=3n²-3n=3n（n-1），
∴$\frac{1}{f（n）-1}$=$\frac{1}{3n（n-1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{3}$

點評 本題主要考查了數(shù)列的求和問題．?dāng)?shù)列的求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，出等差數(shù)列和等比數(shù)列外，大部分的數(shù)列求和都需要一定的技巧，如裂項法、倒序相加，錯位相減，分組求和等．