Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，側(cè)棱BB₁與底面ABC所成的角為60°，∠AA₁B₁為銳角，且側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC，給出下列四個結(jié)論：
①∠ABB₁=60°；②AC⊥BB₁；③直線AC₁與平面ABB₁A₁所成的角為45°；④B₁C⊥AC₁．其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①③
• B、②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：由題意知∠ABB₁=∠AA₁B₁=60°；AC與BB₁所在成角是60°；過A作AO⊥A₁B₁，連結(jié)C₁O，∠C₁AO是直線AC₁與平面ABB₁A₁所成的角，C₁O=AO=

3

，所以直線AC₁與平面ABB₁A₁所成的角為45°；以O(shè)為原點，OC₁為x軸，OB₁為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出B₁C⊥AC₁．

解答： 解：由題意知四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，且∠AA₁B₁=60°，
∴∠ABB₁=∠AA₁B₁=60°，故①正確；
∵AC∥A₁C₁，BB₁∥AA₁，∠AA₁C₁=60°，
∴AC與BB₁所在成角是60°，故②錯誤；
過A作AO⊥A₁B₁，連結(jié)C₁O，
∵側(cè)面ABB₁A₁⊥底面ABC，∴AO⊥面A₁B₁C₁，
∴∠C₁AO是直線AC₁與平面ABB₁A₁所成的角，
∵∠ABB₁=∠C₁A₁O=60°，A₁C₁=AA₁=2，
∴C₁O=AO=2sin60°=

3

，
∴∠C₁A₁O=45°，即直線AC₁與平面ABB₁A₁所成的角為45°，故③正確；
以O(shè)為原點，OC₁為x軸，OB₁為y軸，OA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，

3

），C₁（

3

，0，0），B₁（0，1，0），C（

3

，1，

3

），
∴

B1C

=（

3

，0，

3

），

AC1

=（

3

，0，-

3

），
∴

B1C

•

AC1

=0，∴B₁C⊥AC₁，故④正確．
故選：C．

點評：本題以三棱柱為載體，考查空間角、空間直線的位置關(guān)系的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．