Question

若實(shí)數(shù)x，y滿足（x-2）²+y²=3．求：
（1）

y

x

的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）（x-4）²+（y-3）²的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,直線的斜率

專題：直線與圓

分析：（1）

y

x

的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)

y

x

=k，即y=kx，求出直線y=kx與圓相切時(shí)，k的值，即可確定斜率k取最大值或最小值；
（2）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值；
（3）（x-4）²+（y-3）²是圓上點(diǎn)與點(diǎn)（4，3）的距離的平方，根據(jù)幾何意義可求出最大值和最小值．

解答： 解：（1）原方程表示以（2，0）為圓心，

3

為半徑的圓，

y

x

的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
所以設(shè)

y

x

=k，即y=kx
當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)

|2k-0|

k2+1

，∴k=±

3

，
∴

y

x

的最大值為

3

，最小值為-

3

；
（2）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，
此時(shí)

|2-0+b|

2

=

3

，解得b=-2±

6

，
所以y-x的最小值為-2-

6

；
（3）（x-4）²+（y-3）²是圓上點(diǎn)與點(diǎn)（4，3）的距離的平方，
∵圓心為A（2，0），B（4，3），連接AB交圓于C，延長(zhǎng)BA交圓于D，
|AB|=

(4-2)2+(3-0)2

=

13

，則|BC|=

13

-

3

，|BD|=

13

+

3

，
∴（x-4）²+（y-3）²的最大值為（

13

+

3

）²和最小值（

13

-

3

）²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵理解所求表達(dá)式的幾何意義，屬于中檔題．