Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy上，設(shè)向量

OA

=(2cosα，sinα)，

OB

=(2cosβ，sinβ)，

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，點M在橢圓x²+4y²=4上，O是坐標(biāo)系原點．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）設(shè)

OC

=(-

6

2

，0)，

OD

=(

6

2

，0)，

ON

=

OA + OB

2

，求證|

NC

|+|

ND

|=2

2

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用向量的線性運算法則和平方關(guān)系、兩角和差的余弦公式即可得出；
（2）利用向量的線性運算法則和平方關(guān)系、兩角和差的余弦公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

OA

=(2cosα，sinα)，

OB

=(2cosβ，sinβ)，
∴

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

=(

6

5

cosα+

8

5

cosβ，

3

5

sinα+

4

5

sinβ)，
則M(

6

5

cosα+

8

5

cosβ，

3

5

sinα+

4

5

sinβ)在橢圓上，
代入橢圓方程得：(

6

5

cosα+

8

5

cosβ)2+4(

3

5

sinα+

4

5

sinβ)2=4，
展開整理可得cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=0．
（2）

ON

=

OA + OB

2

=(cosα+cosβ，

sinα+sinβ

2

)，
又∵cosαcosβ+sinαsinβ=0，
∴(cosα+cosβ)2+4(

sinα+sinβ

2

)2=2，
∴點N在橢圓P：x²+4y²=2上，
則橢圓P的兩焦點為C，D，由橢圓的定義可得|

NC

|+|

ND

|=2a=2

2

．

點評：本題考查了向量的線性運算法則和平方關(guān)系、兩角和差的余弦公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．