(2013•奉賢區(qū)二模)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的任意一點M(除短軸端點除外)與短軸兩個端點B1,B2的連線交x軸于點N和K,則|ON|+|OK|的最小值是
2a
2a
分析:求出橢圓上下頂點坐標(biāo),設(shè)M(xo,yo),N(xm,0),K(xn,0),利用三點共線求出K,N的橫坐標(biāo),利用M在橢圓上,推出|ON|•|OK|=a2,最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可.
解答:解:由橢圓方程知B1(0,b),B2(0,-b),
另設(shè)M(xo,yo),K(xk,0),N(xn,0)(2分)
由M,N,B1三點共線,知
y0-b
x0-0
=
0-b
xn
(4分)
所以xn=
bx0
b-y0
(6分)
同理得xk=
bx0
b+y0
(9分)
|OK|•|ON|=|
b2x02
b2-y02
|…①,
又M在橢圓上所以
x02
a2
+
y02
b2
=1
即b2-y
 
2
0
=
b2
x
2
0
a2
代入①得              10分
|OK|•|ON|=|
b2
x
2
0
b
2
 
x
2
0
a2
|=a2(12分)
利用基本不等式,得|ON|+|OK|≥2
|OK|•|ON|
=2a,當(dāng)且僅當(dāng)|OK|•|ON|取號,
故|OK|•|ON|的最小值為2a.
故答案為:2a.
點評:本題是中檔題,思路明確重點考查學(xué)生的計算能力,也可以由向量共線,或由直線方程截距式等求得點M坐標(biāo).
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x+y≥2
x≤1
y≤2
上的一個動點,則
OA
OM
的取值范圍是
[0,2]
[0,2]

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(2,+∞)
(2,+∞)

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4
4

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π
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1x
)8
的二項展開式中,常數(shù)項是
70
70

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