【題目】在四棱錐P—ABCD中,PAB為正三角形,四邊形ABCD為炬形,平面PAB⊥平面ABCD.AB=2AD,M,N分別為PB,PC中點(diǎn).
(1)求證:MN//平面PAD;
(2)求二面角B—AM—C的大。
(3)在BC上是否存在點(diǎn)E,使得EN⊥平面AMV?若存在,求的值:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)45°(3)存在,
【解析】
(1)欲證//平面,則證明MN∥AD即可.
(2)取中點(diǎn)再建立空間直角坐標(biāo)系,求得與的法向量再求解即可.
(3)設(shè)再根據(jù)平面,列出對(duì)應(yīng)的向量,利用數(shù)量積為0,求出再計(jì)算即可.
證明:(1)∵M,N分別是PB,PC中點(diǎn)
∴MN是△ABC的中位線
∴MN∥BC∥AD
又∵AD平面PAD,MN平面PAD
所以MN∥平面PAD.
解:(2)過(guò)點(diǎn)P作PO垂直于AB,交AB于點(diǎn)O,
因?yàn)槠矫?/span>PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=2,則A(﹣1,0,0),C(1,1,0),
M(,0,),
B(1,0,0),N(),
則
設(shè)平面CAM法向量為,
由,得,
令x1=1,則,即
平面ABM法向量
所以,二面角B﹣AM﹣C的余弦值
因?yàn)槎娼?/span>B﹣AM﹣C是銳二面角,
所以二面角B﹣AM﹣C等于45°
(3)存在點(diǎn)E,使得EN⊥平面AMN
設(shè)E(1,λ,0),則,
由可得,
所以在BC存在點(diǎn)E,使得EN⊥平面AMN,
此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù),關(guān)于的方程,給出下列結(jié)論
①存在這樣的實(shí)數(shù),使得方程有3個(gè)不同的實(shí)根
②不存在這樣的實(shí)數(shù),是的方程有4個(gè)不同的實(shí)根
③存在這樣的實(shí)數(shù),是的方程有5個(gè)不同的實(shí)根
④不存在這樣的實(shí)數(shù),是的方程有6個(gè)不同的實(shí)根
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義區(qū)間的長(zhǎng)度均為,其中
(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>值域?yàn)?/span>寫(xiě)出區(qū)間長(zhǎng)度的最大值;
(2)若關(guān)于的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長(zhǎng)度和為6,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知求證:關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長(zhǎng)度和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意,都有;
(1)若,求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為,線段的長(zhǎng)為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn),且點(diǎn)在線段的上方,線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值;
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心,擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng),以提高分揀效率和降低物流成本,已知購(gòu)買x臺(tái)機(jī)器人的總成本為萬(wàn)元.
(1)若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低,問(wèn)應(yīng)買多少臺(tái)?
(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購(gòu)買機(jī)器人,需要安排m人將郵件放在機(jī)器人上,機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀(如圖).經(jīng)實(shí)驗(yàn)知,每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為,(單位:件).已知傳統(tǒng)的人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件,問(wèn)引進(jìn)機(jī)器人后,日平均分揀量達(dá)最大時(shí),用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是( )
①命題“若,則,中至少有一個(gè)不小于2”的逆命題是真命題
②命題“設(shè),若,則或”是一個(gè)真命題
③“的否定是“”
④已知,都是實(shí)數(shù),“”是“”的充分不必要條件
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某創(chuàng)業(yè)投資公司擬開(kāi)發(fā)某種新能源產(chǎn)品,估計(jì)能獲得萬(wàn)元到萬(wàn)元的投資利益,現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金(單位:萬(wàn)元)隨投資收益(單位:萬(wàn)元)的增加而增加,且獎(jiǎng)金不超過(guò)萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)收益的.
()請(qǐng)分析函數(shù)是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型,并說(shuō)明原因.
()若該公司采用函數(shù)模型作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型,試確定最小正整數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且,若對(duì)任意恒成立,則不等式的解集為( )
A.B.C.D.
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