Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²+bx（其中常數(shù)a，b∈R）
（Ⅰ）若a=1，b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+f′（x）是奇函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性，并求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，表示出f（x），求得f′（x），可判斷f′（x）的符號(hào)，由此可求單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出f′（x），由奇函數(shù)定義可得g（-x）=-g（x）恒成立，由此可求得a，b，從而可得g（x），解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0可得函數(shù)g（x）的增區(qū)間、減區(qū)間，求出極值、區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后進(jìn)行大小比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值；

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，f（x）=x³+x²+x，
∵f′（x）=3x²+2x+1=3(x+

1

3

)2+

2

3

＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（Ⅱ）由題意得f′（x）=3ax²+2x+b，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b，
∵函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，
∴g（-x）=-g（x），即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]，
從而3a+1=0，b=0，解得a=-

1

3

，b=0，
∴g（x）=-

1

3

x3+2x，∴g′（x）=-x²+2，
令g′（x）=0，解得x1=-

2

，x2=

2

，
則當(dāng)x＜-

2

或x＞

2

時(shí)，g′（x）＜0，
從而g（x）在區(qū)間（-∞，-

2

]，[

2

，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)-

2

＜x＜

2

時(shí)，g′（x）＞0，
從而g（x）在區(qū)間[-

2

，

2

]上是增函數(shù)，
則g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值只能在x=1，

2

，2時(shí)取得，
而g（1）=

5

3

，g（

2

）=

4 2

3

，g（2）=

4

3

，
∴g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為g（

2

）=

4 2

3

，最小值為g（2）=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．