Question

北京市各級各類中小學每年都要進行“學生體質(zhì)健康測試”，測試總成績滿分為100分，規(guī)定測試成績在[85，100]之間為體質(zhì)優(yōu)秀；在[75，85）之間為體質(zhì)良好；在[60，75）之間為體質(zhì)合格；在[0，60）之間為體質(zhì)不合格．現(xiàn)從某校高三年級的300名學生中隨機抽取30名學生體質(zhì)健康測試成績，其莖葉圖如下：

9	1	3	5	6
8	0	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6	6	7	7	9
7	0	5	6	6	7	9
6	4	5	8
5	6

（Ⅰ）試估計該校高三年級體質(zhì)為優(yōu)秀的學生人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)以上30名學生體質(zhì)健康測試成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從體質(zhì)為優(yōu)秀和良好的學生中抽取5名學生，再從這5名學生中選出3人．
（�。┣笤谶x出的3名學生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率；
（ⅱ）求選出的3名學生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,分層抽樣方法

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（I）根據(jù)莖葉圖可得優(yōu)秀率，從而可得總體中優(yōu)秀學生數(shù)；
（II）先計算按分層抽樣方法，抽取的優(yōu)秀學生數(shù)和良好學生數(shù)，再利用排列組合知識計算從這5名學生中選出3人的方法種數(shù)，
計算選出的3名學生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的選法種數(shù)及選出的3名學生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)的選法種數(shù)，代入古典概型概率公式計算．

解答： 解：（I）由莖葉圖知：體質(zhì)優(yōu)秀的數(shù)據(jù)有10個，
∴優(yōu)秀率為

1

3

，
∴總體中優(yōu)秀學生數(shù)為300×

1

3

=100；
（II）樣本中體質(zhì)良好的學生數(shù)為15，
∴按分層抽樣方法，從體質(zhì)為優(yōu)秀和良好的學生中抽取5名學生，則抽取的優(yōu)秀學生數(shù)為2，良好學生數(shù)為3；
（i）從這5名學生中選出3人，共有

C

3 5

=10種選法；
其中選出的3名學生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的選法有

C

1 2

×

C

2 3

+

C

2 2

×

C

1 3

=9種，
∴選出的3名學生中至少有1名體質(zhì)為優(yōu)秀的概率為

9

10

；
（ii）選出的3名學生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)有

C

2 2

×C

1 3

=3種，
∴選出的3名學生中體質(zhì)為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質(zhì)為良好的人數(shù)的概率為

3

10

．

點評：本題考查了古典概型的概率計算及計數(shù)原理應(yīng)用，考查了組合數(shù)計算公式，綜合性較強，解題的關(guān)鍵是利用排列組合知識求得符合條件的基本事件個數(shù)．