Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)取值的集合；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對任意，，令，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（I）f′（x）．（x＞0）．對a分類討論即可得出單調(diào)性極值與最值．進(jìn)而得出a的取值集合;（II）當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝lnx，則，由（I）可知：lnx1≥0，（x＞0）．根據(jù)0＜x1＜x2，可得1，ln1，即可證明．由（I）可知：lnx＜x﹣1，（x＞1）．同理可證明：．

（Ⅰ）由已知，有.

當(dāng)時(shí)，，與條件矛盾；

當(dāng)時(shí)，若，則，單調(diào)遞減；

若，則，單調(diào)遞增.

∴在上有最小值.

由題意，∴.

令.∴.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

∴在上有最大值.∴.

∴.

∴，∴，

綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)取值的集合為.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則.

由（Ⅰ），可知.

∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）. ①

∵，∴.∴，∴

由①式可得當(dāng)時(shí)，有.

∵，∴.

∴.

綜上所述，有，∴.