【題目】(本小題滿分16分)已知為實數(shù),函數(shù),函數(shù)

1)當(dāng)時,令,求函數(shù)的極值;

2)當(dāng)時,令,是否存在實數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù),均存在實數(shù),有成立,若存在,求出實數(shù)的取值集合;若不存在,請說明理由.

【答案】(1的極小值為,無極大值.(2

【解析】試題分析:(1)當(dāng)時, ,定義域為,由.列表分析得的極小值為,無極大值.(2)恒成立問題及存在問題,一般利用最值進行轉(zhuǎn)化: 上恒成立.由于不易求,因此再進行轉(zhuǎn)化:當(dāng)時, 可化為,令,問題轉(zhuǎn)化為: 對任意恒成立;同理當(dāng)時, 可化為,令,問題轉(zhuǎn)化為: 對任意的恒成立;以下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點情況進行討論即可.

試題解析:(1,

,令,得1

列表:

x






0

+



極小值


所以的極小值為,無極大值. 4

2)當(dāng)時,假設(shè)存在實數(shù)滿足條件,則上恒成立. 5

1)當(dāng)時, 可化為

,問題轉(zhuǎn)化為: 對任意恒成立;(*

, ,

,則

時,因為,

,所以函數(shù)時單調(diào)遞減,

,從而函數(shù)時單調(diào)遞增,故,所以(*

成立,滿足題意; 7

當(dāng)時, ,

因為,所以,記,則當(dāng)時, ,

,所以函數(shù)時單調(diào)遞增, ,

,從而函數(shù)時單調(diào)遞減,所以,此時(*)不成立;

所以當(dāng), 恒成立時, 9

2)當(dāng)時, 可化為

,問題轉(zhuǎn)化為: 對任意的恒成立;(**

,

,則

時, ,

,所以函數(shù)時單調(diào)遞增, ,

,從而函數(shù)時單調(diào)遞增,所以,此時(**)成立;11

當(dāng)時,

)若,必有,故函數(shù)上單調(diào)遞減,所以,即,從而函數(shù)時單調(diào)遞減,所以,此時(**)不成立; 13

)若,則,所以當(dāng)時,

,

故函數(shù)上單調(diào)遞減, ,即,所以函數(shù)時單調(diào)遞減,所以,此時(**)不成立;

所以當(dāng), 恒成立時, 15

綜上所述,當(dāng), 恒成立時, ,從而實數(shù)的取值集合為16

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x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70


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