Question

已知函數(shù)f（x）=ax²﹣4x+c（a，c∈R），滿足f（2）=9，f（c）＜a，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=（k∈R），對(duì)任意x∈[1，2]，存在x₀∈[﹣1，1]，使得g（x）＜f（x₀）求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)f(2)＝9，得4a＋c＝17

由函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)知，方程ax²－4x＋c＝0，判別式△＝0，即 ac＝4，

又f(c)＜a，∴ac²－4c＋c＜a，即c＜a，

解得：a＝4，c＝1，所以f(x)＝4x²－4x＋1．                                

（Ⅱ）當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)∈[0，9]，

對(duì)任意x∈[1，2]，存在x₀∈[－1，1]，使得g(x)＜f(x₀)，即

g(x)＝＜9，即4x²＋(k－13)x－2＜0對(duì)任意x∈[1，2]恒成立．

設(shè)h(x)＝4x²＋(k－13)x－2，則

即                              

∴k的取值范圍是(－∞，6)．