Question

已知時都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c²＜0成立，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x²+2ax+b，∵時取極值，
∴即
解得，故a，b的值為：
（Ⅱ）（解法一）由（I）知．由上恒成立．
設(shè)．…（8分）
由．…（10分）
∴[g（x）]_max=2，∴2＜c²-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）知．，∴f'（x）=3x²-x-2．…（8分）
①當；②當；
③當．
而，…（10分）
∴當x∈[1，2]時，f（x）的最大值為f（2）=2+c．
對，
故c的取值范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）．…（12分）
分析：（Ⅰ）由極值的定義可知解此方程組可得a、b的值；
（Ⅱ）解法一通過分離常數(shù)把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=在區(qū)間[-1，2]上的最大值問題；解法二則把問題恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值問題．
點評：本題考查函數(shù)的極值與最值，通過求解函數(shù)的最值來解決恒成立問題是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．