Question

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-

1

3

與x=1時都取得極值
（1）求a，b的值及f（x）的單調區(qū)間
（2）若對x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)在極值點處，其導數(shù)的值為零．因此可以列出

f/(- 1 3 )=0 f/(1)=0

，解方程組可得a，b的值，得到表達式，最后根據(jù)所得表達式，討論導數(shù)的符號，可得函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，求出函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，2]上的最大值，這個最大值應該小于c²，最后解不等式，可得c的取值范圍．

解答：解：（1）求導數(shù)，得f′（x）=3x²+2ax+b
∵在x=-

1

3

與x=1時，函數(shù)取得極值
∴

f/(- 1 3 )= 1 3 - 2a 3 +b=0  f/(1)=3+2a+b=0

⇒

a=-1 b=-1

∴f（x）=x³-x²-x+c，其導數(shù)為f′（x）=3x²-2x-1
當x＜-

1

3

或x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
而當-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）；減區(qū)間為（-

1

3

，1）
（2）∵對x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值小于右邊c²
根據(jù)（1）的單調性，可得f（x）的最大值是f（-

1

3

）、f（2）中的較大值
∵f（-

1

3

）=

5

27

+c＜f（2）=2+c
∴f（x）的最大值是2+c
因此2+c＜c²恒成立，解之得c＜-1或c＞2
∴c的取值范圍為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，函數(shù)在某點取得極值的條件等等知識點，屬于中檔題．