Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時都取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若函數f（x）的圖象與x軸有3個交點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數的解析式，對函數求導，使得導函數等于0，得到關于a，b的關系式，解方程組即可，寫出函數的解析式．
（2）對函數求導，寫出函數的導函數等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導函數和函數的情況，求出極值，令極大值大于零，極小值小于零，解此不等式組即可求得結果．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（ -

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
得a=-

1

2

，b=-2
經檢驗，a=-

1

2

，b=-2符合題意
（2）由（1）得函數解析式為f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

f(-

2

3

)=

22

27

+c，f(1)=-

3

2

+c，
要使函數f（x）的圖象與x軸有3個交點，
須滿足

f(- 2 3 )= 22 27 +c＞0 f(1)=- 3 2 +c＜0

解得-

22

27

＜c＜

3

2

，
因此c的取值范圍為：-

22

27

＜c＜

3

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，以及函數圖象與x軸交點個數問題，根據函數f（x）在x=-

2

3

與x=1時取得極值，且圖象與x軸有且只有3個交點，等價于極大值大于0且極小值小于0，是解題的關鍵，體現了轉化的數學思想方法，屬中檔題．