Question

設(shè)a、b、c均為正實(shí)數(shù)，求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：對(duì)左邊變形

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）+

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）+

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）后，兩項(xiàng)兩項(xiàng)地應(yīng)用基本不等式，得到三個(gè)不等式后相加即得．

解答：證明：∵a、b、c均為正實(shí)數(shù)，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

．
三個(gè)不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法．