Question

函數(shù)f（x）=x+

9

x

（x＞0）
（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并給出證明；
（Ⅱ）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，不必證明；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[1，5]上的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）利用函數(shù)在區(qū)間[1，5]上的單調(diào)性求函數(shù)的最值．

解答：解：（I）函數(shù)f(x)=x+

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x

(x＞0)的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞）．
證明：設(shè)x₁，x₂∈（3，+∞），且 x₁＜x₂．
則x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＞0，x₁x₂＞0，

f(x1)-f(x2)=x1+ 9 x1 -x2- 9 x2 =(x1-x2)+( 9 x1 - 9 x2 )=(x1-x2)+ 9(x2-x1) x1x2 =(x1-x2)(1- 9 x1x2 )=(x1-x2) (x1x2-9) x1x2 ＜0

，
即f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)f（x）在區(qū)間（3，+∞）上是增函數(shù)．
即函數(shù)f(x)=x+

9

x

(x＞0)的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞）．
（II）函數(shù)f(x)=x+

9

x

(x＞0)的遞減區(qū)間是（0，3）．
（III）由第（I）、（II）可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3）上是減函數(shù)，在（3，5]上是增函數(shù)．
又f（1）=10，f（3）=4，f（5）═6.8，
所以f（x）在區(qū)間[1，5]上的最大值為10，相應(yīng)的x為1．
f（x）在區(qū)間[1，5]上的最小值為4，相應(yīng)的x為3．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明和利用單調(diào)性求函數(shù)的最值問題，利用定義法或?qū)��?shù)是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法．