Question

已知n是正整數(shù)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任何正整數(shù)n，等式S_n=-a_n+（n-3）都成立．
（I）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n，不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3是否對(duì)一切正整數(shù)n恒成立？若不恒成立，請(qǐng)求出不成立時(shí)n的所有值；若恒成立，請(qǐng)給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）在等式中，令n=1．解關(guān)于a₁的方程．
（II）當(dāng)n≥2時(shí)，，變形轉(zhuǎn)化得出數(shù)列{}是等比數(shù)列，求出{}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（III），用分組求和法求出T_n，代入關(guān)系式，整理，考查不等式恒成立成立與否，注意分離參數(shù)思想方法的使用，及求含n的式子的最值．
解答：解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，，解得．
   （II）當(dāng)n≥2時(shí)，，則
因此數(shù)列{}是首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列，
∴=
∴
 數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是
 （III）不等式2T_n≤（2n+4）S_n+3對(duì)一切正整數(shù)n都成立，
∵，
∴-
令
則
上面兩式相減：

即
∴=
∵=
∴2T_n-（2n+4）S_n==
∴當(dāng)n=2或n=3時(shí)，的值最大，最大值為3，
∴對(duì)一切正整數(shù)n.2T_n-（2n+4）S_n≤3
∴不等式2T_n-（2n+4）S_n+3對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用變形，化簡轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列，研究問題的知識(shí)方法．（Ⅱ）中的方法適用于形如：已知a_n+1=pa_n+q（p，q≠0），求a_n，注意分離參數(shù)思想方法，及求含n的式子的最值在研究數(shù)列與不等式綜合問題的價(jià)值．