Question

已知n是正整數，數列{a_rt }的前n項和為S_na₁=1，數列{

1

an

}的前n項和為T_n數列{ T_n }的前n項和為P_n，S_n，是na_n，a_n的等差中項•
（I ）求

lim

n→∞

Sn

n2

（II）比較（n+1）T_n+1-nT_n與1+T_n大�。�
（III）是否存在數列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n？若存在，求出所有數列{b_n}，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據S_n，是na_n，a_n的等差中項，得出na_n+a_n=2S_n，（n+1）a_n=2S_n，又2S_n-2S_n-1=2a_n∴a_n=

n

n-1

a_n-1，求得a_n=n．得出

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n(n+1) 2

n2

=

1

2

；
（II）由于數列{

1

an

}的前n項和為T_n∴Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，（n+1）T_n+1-nT_n=（n+1）（T_n+

1

n+1

）-nT_n=1+T_n，從而得出（n+1）T_n+1-nT_n=1+T_n
（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在數列{b_n}，再利用條件，求出b_n，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）∵S_n，是na_n，a_n的等差中項
∴na_n+a_n=2S_n，
∴（n+1）a_n=2S_n，
∵2S_n-2S_n-1=2a_n
∴（n+1）a_n-na_n-1=2a_n
∴a_n=

n

n-1

a_n-1
∴a_n=n．
∴

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

n(n+1) 2

n2

=

1

2

；
（II）∵數列{

1

an

}的前n項和為T_n
∴Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴（n+1）T_n+1-nT_n=（n+1）（T_n+

1

n+1

）-nT_n=1+T_n
∴（n+1）T_n+1-nT_n=1+T_n
（III）假設存在數列{b_n}，使Pn=（b_n+1）T_n-b_n，
當n=2時，有：P₂=（b₂+1）T₂-b₂，
即：1+1+

1

2

═（b₂+1）（1+

1

2

）-b₂，
∴b₂=4，
當n=3時，有：P₃=（b₃+1）T₃-b₃，
即：1+1+

1

2

+1+

1

2

+

1

3

=（b₃+1）（1+

1

2

+

1

3

）-b₃，
∴b₃=3，
…
依此類推，存在數列{b_n}，b_n=5-n．
使得Pn=（b_n+1）T_n-b_n．

點評：本題考查數列的應用，數列的極限．注意（Ⅲ）的處理存在性問題的一般方法，首先假設存在，進而根據題意、結合有關性質，化簡、轉化、計算，最后得到結論．