Question

17．已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁+a₂+a₃=64（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$），a${\;}_{{1}_{\;}}$+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁+a₂+a₃=64（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$），a${\;}_{{1}_{\;}}$+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$）．
∴$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q$=64$（\frac{q}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}q}）$，$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}=2（\frac{q}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$，
解得a₂=8，q=32．
∴a_n=8×32^n-2=2^5n-7．
（2）b_n=（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²=4^5n-7+$\frac{1}{{4}^{5n-7}}$+2．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{\frac{1}{16}（1-{4}^{5n}）}{1-{4}^{5}}$+$\frac{16（1-\frac{1}{{4}^{5n}}）}{1-\frac{1}{{4}^{5}}}$+2n
=$\frac{1023}{16}（{4}^{5n}-1）$+$\frac{16384}{1023}（1-\frac{1}{{4}^{5n}}）$+2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．